Angles, Transformacions Geomètriques i Triangles: Guia Completa

Angles i circumferència

Tipus d'angles en una circumferència:

• Angle central: El seu vèrtex està al centre de la circumferència i els seus costats són radis.
• Angle inscrit: El vèrtex està en un punt de la circumferència i els seus costats són interiors. El seu valor és la meitat de l'angle central que abraça el mateix arc.
• Angle semiinscrit: Un dels costats és tangent a la circumferència. El seu valor és igual a la meitat de l'angle central corresponent al mateix arc.
• Angle interior: El vèrtex està a l'interior de la circumferència (excepte el centre). El seu valor és la semisuma dels arcs centrals interceptats per aquest i el seu oposat al vèrtex.
• Angle exterior: El vèrtex és exterior a la circumferència i els costats són secants. El seu valor és la semidiferència dels angles centrals corresponents als dos arcs que inclouen els costats.
• Angle circumscrit: Cas límit de l'angle exterior on tots dos costats de l'angle són tangents a la circumferència.

Transformacions geomètriques

Una transformació geomètrica és l'operació que permet obtenir una figura nova a partir d'una donada, establint correspondències entre elements (punts, rectes).

Les transformacions que conserven la forma i la mida de la figura inicial s'anomenen moviments.

Els elements que, en aplicar la transformació, continuen al mateix lloc geomètric s'anomenen elements dobles o invariants.

Classificació de les transformacions:

• Transformacions isométriques: Conserven les magnituds i els angles de la figura inicial. Exemples: igualtat, translació, simetria i gir.
• Transformacions isomòrfiques: Conserven la forma de la figura inicial, els angles són iguals i les magnituds proporcionals. Exemples: homotècia i semblança.
• Transformacions anamòrfiques: La figura transformada és totalment diferent de la figura inicial.

L'escala:

És la raó entre les dimensions d'un dibuix i les seves mides corresponents en la realitat.

Tipus d'escales:

• Escala natural: Relació 1:1. Les mides del dibuix són iguals a les de la realitat.
• Escala de reducció: Les mides del dibuix són menors que les reals.
• Escala d'ampliació: Les mides del dibuix són més grans que les reals.

Conservació d'escala: La representació numèrica d'una escala pot canviar-se de fracció a decimal. Per passar de fracció ordinària a decimal, es divideix el numerador pel denominador. Per passar de decimal a ordinària, es redueix la fracció decimal a ordinària.

Escales gràfiques o volants: Es basen en la determinació del valor de la unitat en aquesta escala.

Recta d'Euler

L'ortocentre, el baricentre i el circumcentre d'un triangle no equilàter estan alineats en la recta d'Euler.

Aquesta recta compleix certes característiques matemàtiques, com ara l'equació 2x + 3 - 3 = 0.

Alguns triangles, donades les seves característiques particulars, poden construir-se amb menys dades. Per exemple, un triangle equilàter.

Triangles

Un triangle és una figura plana i tancada limitada per tres rectes que es tallen dos a dos. Els punts d'intersecció són els vèrtexs i els segments que els uneixen són els costats.

Notacions:

Els vèrtexs i els angles es denominen amb lletres majúscules. La lletra que identifica els angles duu un símbol (^) a sobre. Els costats oposats als angles tenen les mateixes lletres però minúscules.

Propietats:

• Els angles interiors d'un triangle sempre sumen 180º: A^ + B^ + C^ = 180º.
• Un triangle no pot tenir més d'un angle obtús o un angle recte.
• En un triangle rectangle, els angles aguts són complementaris.
• Si els costats i angles d'un triangle són iguals, aquest és regular i s'anomena triangle equilàter.
• La hipotenusa d'un triangle rectangle és més gran que cada un dels catets.
• Qualsevol dels costats d'un triangle és menor que la suma dels dos restants, però major que la seva diferència: a < b + c i a > |b - c|.

Igualtat i semblança de triangles:

• Triangles iguals:
  • Tenen tots els costats iguals: a = a', b = b', c = c'.
  • Tenen iguals dos costats i l'angle que formen: a = a', c = c', B = B'.
  • Tenen dos angles i un costat igual: c = c', A = A', B = B'.
• Triangles semblants:
  • Tenen els costats proporcionals: a/a' = b/b' = c/c'.
  • Tenen un angle igual i els costats que el determinen són proporcionals: B = B', c/c' = a/a'.