Se tiene un sistema cuya respuesta impulsional es h(n) = rn ⋅ cos(ω0 ⋅ n) ⋅ u(n). Implementa dicho sistema con el menor número de retardos. ¿Qué puedes comentar sobre la estabilidad de dicho sistema y la posición de los polos de la transformada Z? ln(n)=rn(ω0n)u(n)=H(z)?
ln(n)=rn[ejω0n+e-jω0n/2]u(n)= h(n)=1/2 (r * ejω0)n *u(n) + 1/2(r*e-jω0)n * u(n) aplicando que x(n)=an u(n) ---X(z)=1/1-az-1 se tiene H(z)=1/2 * (1/1-rejω0z-1) + 1/2 * (1/1-re-jω0z-1)
H(z)=1/2 [(1-re-jω0z-1 + 1-rejω0z-1)/ (1 -r(ejω0 + e -jω0)z-1+ r2z-2)] -------- H(z)= (1-rcosω0z-1)/(1-2rcosω0z-1 +r2z-2)
Para conseguir el menor número de retardos hay que realizar la siguiente descomposición: H(z)=H1(z)*H2(z)------ Con H1(z)= 1/1-2rcosω0z-1 + r2z-2 = W(z)/X(z) y H2(z)= 1-2rcosω0z-1= Y(z)/W(z)
Multiplicando en cruz X(z)=W(z)-2rcosω0W(z)z-1 + r2z-2 W(z)
Aplicando la propiedad del retardo: x(n)=w(n)-2r(cosω0)*w(n-1) + r2w(n-2) === despejando w(n) == w(n)=2rcosω0 * w(n-1) + r2w(n-2)
Se tiene un sistema discreto (estable y causal) L.T.I definido por H(z) = 2/ (1+ 0.5⋅z-1) ; sabiendo que la entrada es el escalón unitario determina la salida y(n) aplicando: a) convolución de h(n) y x(n); b) Transformadas Z inversas.
ln(n)=2*(-1/2)n u(n) ------- y(n)= Σh(k)x(n-k)= Σ 2(-1/2)k u(k)* u(n-k)
y(n)=2Σ(-1/2)k =2 [((-1/2)0 - (-1/2)n+1 )/1+1/2]
y(n)=2*2/3[1-(-1/2)n *(-1/2)] ------y(n)=[4/3 + 2/3(-1/2)n]*u(n)
Por T.Z= Y(z)=H(z)*X(z)=2/(1+0.5z-1) * 1/1-z-1----Y(z)=2z2/(z+0.5)(z-1)------Y(z)/z=A/z+0.5 + B/z-1 = A=2z/z-1---------z=-0,5 ---------A =2/3
B=2z/z+0.5= 2 /1.5 = 4/3
Y(z)/z=2/3(z/z+0.5)+4/3(z/z-1)= Y(z)=2/3(1/1+0.5z-1) + 4/3(1/1-z-1)
Aplicando T.Z inversa =y(n)=2/3(-1/2)n * u(n) + 4/3 u(n)
Determina el valor de la corriente que atraviesa el condensador en el siguiente circuito (usando Transformadas de Laplace); (C=2nF; R=1kΩ y L=3mH). iR=iC+iL =( V0/p -Va/R) = Va-0/(1/cp) + Va-0/Lp =(( V0/p) -Va)/R
=CpVa + Va/Lp = xRLP = (V0/p -Va)Lp =RLCp2Va +RVa == V0L -VaLp=(RLCp2+R)Va= V0L(RLCP2 +Lp +R)Va === Va=V0L/RLCp2 +Lp+R
Sustituyendo valores: Va= (10*3*10-3)/103 *3*10-3*2*10-9 *p2 +3*10-3 p + 103 = Va= (30*10-3)/6*10-9 p2 +3*10-3p +103
Polos=6*10-9 α2 + 3*10-3α +103=0
α=(-3+-sqrt(15j)/12)*106 Queremos determinar la corriente por el condensador = Ic(p)=Va-0/(1/cp) Usando la tabla= p+a/(p+a)2+b2 --e-atcos(bt)
Ic(p)=10*10-3 p/p2 + 1/2 *106p +1/6*1012
Dado el sistema LTI causal definido por la ecuación en diferencias: y(n) = x(n) + x(n − 1) − 0.9 ⋅ y(n − 1) − 0.81⋅ y(n − 2) ; determina la salida que se obtiene si la entrada es la función escalón.
y(n)=x(n)+x(n-1)-0.9y(n-1)-0.81y(n-2) resolvemos la ec en diferencias: y(n)+0.9y(n-1)+0.81y(n-2)=x(n)+x(n-1)
Resolvemos la homogenea yh(n)=k*an= k*an + 0.9k*an-1+0.81kan-2=0 Sacamos factor común an-2 = an-2 {a2+0.91+0.81}=0
a=-0.9+-sqrt(-243)/2 -------- a =0.5{-11+-sqrt(3j)*0.9= 0.45{-1+-sqrt3j}
Calculamos modulo y fase de a |a|=0.9
yh(n)=k1*(0.9ej*2π/3)n + k2(0.9e-j2π/3)n -------Acos((2π/3)*n)+Bsen((2π/3)*n)
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