Análisis Estadístico de la Producción de Yogur, Crecimiento de Lechones y Eficiencia de la Formación de Operarios

EJERCICIO 1

a) Peso de las cajas de yogur

El peso del contenido neto de los vasitos de yogur envasados por una empresa láctea se distribuye normalmente con una media de 125 gr y una desviación típica de 2,3 gr. Por otro lado, el peso de los vasitos que sirven de envases también se distribuye normalmente con una media de 10 gr y una desviación típica de 1,4 gr. Se distribuyen en cajas de 50 vasitos, y el peso de la caja de embalaje vacía se distribuye normalmente con una media de 70 gr y una desviación típica de 10 gr.

X_A: 'Peso del contenido neto de un vasito de yogur' …. X_A ~ N(125, 2,3)…. X_B:'Peso envase'….. X_B ~ N(10, 1,4) …. X_C: 'Peso caja vacía'….. X_C ~N(70, 10)….. X_D: 'Peso total caja llena'…. X_D ~ N((125+10)*50+70, (50*(2,3²+1,4²)+10²)^1/2)= N(6820, 21,5)…. Z_0.01=-2,33 y Z_0.99=2,33…..P(a< N(6820, 21,5)<b)= P((a-6820)/21,5< N(0, 1)<(b-6820)/21,5)=0,98 Z_0.01=-2,33 y Z_0.99=2,33….(a-6820)/21,5=-2,33 a=6769,9 gr….(b-6820)/21,5=2,33 b=6870,1 gr

b) Crecimiento de lechones

Se ha realizado una investigación para estudiar el crecimiento en lechones alimentados con una determinada dieta. Para ello, se han alimentado lechones de 11 camadas diferentes con la dieta objeto de estudio y se han medido los incrementos de peso en gramos por día y lechón. Los resultados obtenidos han sido los siguientes:

• Construye un intervalo de confianza (a=0,05) para la media del incremento de peso: X = 417,636…. S= 50,14… t_{a=0,05 N-1} =2,228….. Intervalo de confianza para m : 417,636 ± 2,228 *50,14/ √11= [383,95 451,32]
• Si hemos obtenido un intervalo de confianza al 95% y deseamos contrastar una hipótesis nula con dicho intervalo, P(aceptar H₀/H₀ es cierta) =1- P(rechazar H₀/H₀ cierta) = 1- a=0.95 …… P(aceptar H₀/H₀ es falsa) = riesgo b

EJERCICIO 2

Los operarios de cierta empresa han recibido formación para aprender a manejar una máquina moderna recientemente adquirida por la empresa. Cada operario recibió la formación de alguno de los siguientes instructores: Pedro, Lorena o Rafa.

a) Tabla ANOVA

Completa la tabla ANOVA siguiente e indica qué conclusiones puedes extraer a partir de ella para un nivel de significación del 5%.

El sexo no tiene un efecto significativo sobre el tiempo que tardan los operarios en familiarizarse con la máquina. En cambio, el instructor y la interacción sí que tienen un efecto significativo sobre dicho tiempo para un nivel de significación del 5%.

b) Intervalos LSD

Tras analizar los resultados del ANOVA, ¿sería útil el estudio de los intervalos LSD del factor Instructor para elegir el mejor instructor tanto para hombres como para mujeres?

No, porque al ser la interacción significativa hay que analizar en el gráfico de interacción qué instructor es mejor en función del sexo del operario.

c) Gráfico de interacción

Interpreta el gráfico de interacción y proporciona unas instrucciones claras a la empresa a la hora de organizar futuras sesiones de formación.

Existe interacción entre el sexo del operario y el instructor, ya que dependiendo del sexo del operario, el instructor más eficiente (menos tiempo) es diferente. Para los operarios varones, los tiempos medios para Pedro y Rafa son similares, mientras que con Lorena obtienen un tiempo mucho menor. En cambio, para las mujeres, el operario más eficiente sería Rafa, seguido de Lorena.

Así pues, las instrucciones para la empresa serían asignar los operarios hombres a Lorena cuando fuera posible, y si no lo fuera, indistintamente a Rafa o Pedro. Las mujeres podrían ser asignadas en primer lugar a Rafa, en segundo lugar a Lorena y por último a Pedro.

EJERCICIO 3

En un estudio sobre el efecto que tiene la dosis de fertilizante nitrogenado (UF Gramos/planta) aplicada sobre la productividad (Kg/planta) de una cierta variedad de tomate bajo tres tipos de poda diferentes.

a) Interpretación de parámetros

Interpretar los parámetros del modelo:

• b₀: Rendimiento medio para dosis de fertilización nitrogenada cero y tipo de poda A.
• b₁: Pendiente de la relación entre el rendimiento medio y la dosis de fertilización nitrogenada para el tipo de poda A y C.
• b₂: Lo que cambia el rendimiento medio al pasar del tipo de poda A al tipo B.
• b₃: Lo que cambia el rendimiento medio al pasar del tipo de poda A al tipo C.
• b₄: Lo que cambia la pendiente de la relación entre el rendimiento medio y la dosis de fertilización nitrogenada al pasar del tipo de poda A al tipo B.

b) Significación del término DosisN*(Poda=B)

Estudiar la significación (a=5%) del término DosisN*(Poda=B) a partir de los resultados obtenidos.

Aplicamos el test de la t-student para realizar el test: H₀ : b₄ =0 frente a H₁ : b₄ ¹0…. siendo el valor de tablas con que comparar la t-calculada: t_N-I-1 = t_60-4-1 = t₅₅ (5%) »2…. DosisN*(Poda=B) su parámetro es significativamente distinto de cero.

c) Representación gráfica

Representar gráficamente la relación del rendimiento de la variedad con la dosis de fertilización nitrogenada para los tres tipos de poda (A, B y C). Es un modelo donde la respuesta del rendimiento a la dosis de fertilización de N no tiene curvatura en la zona de estudio.

• Ordenada en el origen tipo A = b₀ = 1.744 =1.74
• Ordenada en el origen tipo B = b₀ + b₂ = 1.744 + 0.25 = 1.994
• Ordenada en el origen tipo C = b₀ + b₃ = 1.744 + 0.197 = 1.971
• Para sacar otro punto de la recta tomamos el mayor valor de fertilización 15
• E(Rend/A y DosisN=15) = 1.744+(0.161*15) =4.159 =4.16
• E(Rend/B y DosisN=15) = 1.744+(0.161*15)+ 0.25-(0.127*15) = 2.504
• E(Rend/C y DosisN=15) = 1.744+(0.161*15)+0.197 = 4.356

d) Conclusiones

¿Qué conclusiones pueden extraerse respecto al nivel óptimo para la dosis de abonado nitrogenado y del tipo de poda?

El tipo de poda C da mejores resultados para todas las dosis de abonado empleadas. El tipo de poda B manifiesta menos respuesta al aumento de dosis que la A y la C, que experimentan una respuesta similar. El modelo también pone de manifiesto que sería conveniente ensayar dosis de abonado de N superiores, dado que la respuesta para los tres tipos de poda en la zona ensayada es completamente lineal positivo, señalando que el óptimo no se encuentra en la zona ensayada, sino a valores superiores de dosis de abonado.

EJERCICIO 4

a) Desviación típica de la duración de las baterías

La duración de las baterías de una conocida marca de teléfonos móviles (marca A) sigue una distribución normal de media 36 horas. Se sabe que la duración de la batería de dichos móviles es superior a 40 horas en el 25% de los casos. ¿Cuál es la desviación típica de la duración de las baterías?

X_A: ' Duración en horas de la batería de los móviles de la marca A' X_A ~ N(36, σ)….P(X_A > 40) = 0.25…..P(X_A > 40) = P(N(0,1) > (40-36)/σ) = 0.25 …..A partir de las tablas obtenemos, (40-36)/σ = 4/σ = 0.67; de donde se deduce que σ = 5.97.

b) Probabilidad de mayor duración media

La duración de las baterías de otra conocida marca de móviles (marca B) también sigue una distribución normal, pero con media 34 horas y varianza 100 horas². Si tomamos una muestra de 4 móviles de la marca A y una muestra de 5 móviles de la marca B, ¿cuál es la probabilidad de que la duración media de la batería de los 4 móviles de la marca A sea mayor que la de los 5 móviles de la marca B?

X_A~N(36,5.97); X_B ~ N(34, 10)…. xA~ N (36, 5,97/ √5)≡ N(36, 2.985)….????! ~ ???? (34, 10/ √5≡ ????(34, 4.472)…..La probabilidad pedida es: ????????A >????B=????????A−????B>0 =???????? 36−34, √2.985^2+4.472^2>0 =???????? 2,5.377 >0 = ???????? 0,1 >-0.37 = 1−0.3557=0.6443

c) Duración de la batería del nuevo modelo

La marca A se plantea lanzar al mercado un nuevo teléfono. Para estudiar la duración de la batería de este nuevo modelo, toma una muestra de 20 teléfonos y obtiene para dichos 20 teléfonos una duración media de la batería de 37 horas y una desviación típica de 5 horas.

c1. Contraste de hipótesis

Para un nivel de significación del 5% y suponiendo la normalidad de los datos, ¿podemos afirmar que la duración media de la batería del nuevo modelo es distinta de la duración del antiguo modelo (36 horas)? Plantea el contraste de hipótesis y resuélvelo utilizando el estadístico de contraste.

El contraste de hipótesis que nos planteamos es el siguiente: H₀: m = 36 versus H₁: m ≠ 36….. t_calc= ???? =37-36/5/√20=0.8944 < t_{19 0,025}==2.093…..Por tanto, para un nivel de significación del 5%, no podemos rechazar la hipótesis nula. Es decir, no podemos afirmar que la duración de la batería del nuevo modelo de móviles sea significativamente distinta a la del modelo antiguo.

c2. Intervalo de confianza

Calcula un intervalo de confianza al 99% para la desviación típica de la duración de la batería del nuevo modelo. Responde a la siguiente pregunta sin realizar cálculos adicionales, razonando tu respuesta: ¿podríamos afirmar para un nivel de significación del 5% que la desviación típica de la duración de la batería del nuevo modelo es de 3 horas?

????????99%(var)=(√19x25/38,582,√19x25/6,844)=(3,51,8,33)….. Para un nivel de significación del 1% no podemos aceptar que la desviación típica sea 3, puesto que el valor 3 no está incluido en el intervalo de confianza calculado. Para un nivel de significación del 5%, la confianza sería del 95% y el intervalo sería más estrecho. Por tanto, tampoco incluiría el valor 3 y podríamos afirmar que la desviación típica no es igual a 3 horas con un nivel de significación del 5%.

c3. Definición de intervalo de confianza

Definición de intervalo de confianza para la media poblacional. El intervalo de confianza para la media poblacional es un intervalo con una probabilidad muy elevada (igual al nivel de confianza) de contener al verdadero valor desconocido de la media poblacional.

EJERCICIO 5

En un estudio para mejorar el conocimiento del manejo silvícola en el establecimiento de plantaciones de una cierta especie arbórea se ha realizado un ANOVA donde la variable respuesta es el incremento periódico anual en diámetro (IPA) de los árboles (en cm) y los factores explicativos: el control de maleza (1, 2 o 3 tratamientos anuales) y la fertilización (baja, media o alta). Se hicieron 2 pruebas en cada una de las condiciones y los resultados del ANOVA fueron las siguientes:

a) Tabla ANOVA

Tabla._GL_2.2._.4.9.17.Cudrado medio:11,0930.0,57722._.0,121389.0,003333.Razon F 3328,23.173,183._36,42. Ftablas 4,26.4,26_3,63. Significacion*.*_*

Rellenar la tabla del ANOVA y estudiar la significación estadística de los factores simples y de su interacción (asume un á=5% para la significación).

Los dos factores simples, fertilización y el control de maleza, así como su interacción son significativos, para un nivel de significación de á=5% de intervalo de confianza para la media poblacional es un intervalo con una probabilidad

b) Interpretación de la interacción

Basándote en el gráfico de interacciones, interpretar la interacción y justificar el por qué ha salido significativa o no en la tabla del ANOVA.

Ha salido significativa porque el efecto de uno de los factores ha sido diferente según la variante al que está el otro. En la figura de la interacción puede verse cómo el efecto de cambiar de 1 tratamiento anual contra la maleza a 2, tiene el mismo efecto sobre el IPA, en las 3 variantes del factor fertilización, sin embargo, cuando se pasa de 2 a 3 tratamientos contra la maleza, el efecto sobre el IPA es mayor cuando la fertilización es alta, que cuando es baja o media. Por esto último, ha salido significativa en la tabla ANOVA.

c) Diferencias en la interpretación de resultados

Indica qué diferencias hay en la interpretación de los resultados de un Anova cuando se está estudiando la influencia sobre la variable respuesta de factores cuantitativos frente a cuando son factores cualitativos.

Cuando se estudian factores de tipo cualitativo se quiere saber qué variante del factor, entre las ensayadas, dará mejor resultado sobre la variable respuesta en el caso de que el factor sea significativo. Sin embargo, cuando el factor es de tipo cuantitativo, lo que interesa saber es la naturaleza de la función respuesta que relaciona el valor medio de la variable estudiada con el incremento del factor cuantitativo, para saber qué nivel será el óptimo para la finalidad perseguida, que no necesariamente será uno de los niveles ensayados.