Análisis de Elementos Finitos en Estructuras: Tipos, Modelos y Aplicaciones

Análisis de Elementos Finitos en Estructuras

Fuerzas en los Extremos de una Barra

Las fuerzas F representan el conjunto de todas las fuerzas en los extremos de la barra, sin diferenciar su origen. En una barra sujeta por los dos extremos son las fuerzas que ejerce el resto de la estructura sobre la barra aislada.

F_e = f_{v,t e} + f_r,c + f_r,s

donde:

• f_{v,t e} = fuerzas nodales equivalentes
• f_r,c = fuerzas nodales reactivas de contacto
• f_r,s = fuerzas nodales reactivas en los apoyos

Como es una viga de Timoshenko, la flexión usando funciones de forma es la que gobierna la solución homogénea de las ecuaciones diferenciales (función de forma naturales), es decir, proporcionan los valores exactos de desplazamientos y esfuerzos en los nodos, por tanto, se seleccionarían los resultados de la Figura 2.

Elementos Rectangulares

Elementos rectangulares → 4 nodos → 12 gdl, no se puede utilizar un polinomio completo, dado que el cúbico tiene únicamente 10 coeficientes y el cuadrático 15, habría que usar uno cúbico +2 del cuadrático.

Ecuaciones de Equilibrio y Desplazamientos

• La utilización de la relación de rigidez de la barra implica imponer en ella las ecuaciones de equilibrio.
• Las ecuaciones de equilibrio de los nudos se imponen mediante el procedimiento convencional de ensamblaje del sistema global de ecuaciones.
• La relación del sistema de ecuaciones de equilibrio permite obtener los desplazamientos de todos los nodos.
• La aplicación de la relación de rigidez de cada barra permite obtener las fuerzas en sus extremos.

Elementos Triangulares

Elementos triangulares → 3 nodos → 9 gdl, no se puede utilizar un polinomio completo, dado que el cuadrático tiene 6 coeficientes y el cúbico 10, habría que usar uno cuadrático y 3 del cúbico. Siendo también un elemento no conforme.

Elementos Cuadráticos Conformes

Se desarrollan a partir de elementos triangulares, cumplen la continuidad en el contorno por el alto número de grados de libertad, siendo el grado del polinomio elevado.

Comparación entre Estado Membrana y Tensión Plana

La expresión matricial del TTV es idéntica en ambos casos.

Los vectores (dM y d) (εM y ε) también lo son; y las matrices de forma (LM y L) coinciden.

En el estado membrana, el vector de esfuerzos σM=(Nx,Ny,Nxy) sustituye a las tensiones σ=(σx, σy, σxy) del de tensión plana. El primer vector es el resultado de integral sobre el espesor el segundo.

Las matrices DM y D son iguales, de hecho, la del estado membrana es simplemente el resultado de multiplicar por el espesor la de tensión plana.

Ambos problemas son análogos, por el MEF se resuelven de igual manera y usando los mismos elementos finitos. Pero en un problema de láminas en el que tenemos que modelarla mediante elementos planos, no se modela igual, ya que las funciones de forma dependen de u, v y θz, para resolver el problema, se precisa introducir un giro perpendicular al plano de la placa.

Pórtico Plano y Emparrillado Plano

Pórtico Plano XZ

Estructura de barras cuyas directrices yacen en un mismo plano π, en el que también se sitúan las líneas de acción de las fuerzas exteriores y uno de los dos ejes principales de inercia de cualquier sección transversal. Además, el eje de los momentos exteriores ha de ser perpendicular a dicho plano.

• Parámetros nodales → u, w, θy / u, v, θz XY
• Fuerzas exteriores → qx, qz, my / qx, qy, mz

Emparrillado Plano XY

Estructura de barras, cuyas directrices yacen en el mismo plano π, en el que también se sitúan los ejes de los momentos exteriores en cualquier sección transversal. Las líneas de acción de las fuerzas exteriores han de ser perpendiculares a dicho plano.

• Parámetros nodales → w, θx, θy / v, θx, θz XZ
• Fuerzas exteriores → qz, mx, my / mx, mz, qy

Condiciones de los Elementos No Conformes

Las condiciones de los elementos no conformes, son las siguientes:

• Si los desplazamientos nodales corresponden a un campo deformacional constante en el elemento, las funciones de forma deben determinar un campo deformacional constante en él.
• Debe cumplir el criterio de la parcela.

Al tratarse de un elemento con interpolación cuadrática, las derivadas segundas son constantes en el elemento; también cumple el criterio de la parcela, por tanto, satisface todas las condiciones para poder considerarlo un elemento no conforme.

Además, al aumentar el número de elementos, converge a la solución exacta.

Modelos de Elementos Finitos y Reacciones

El modelo de elementos finitos representa la resultante de la reacción real como una fuerza distribuida a lo largo del contorno; para el modelo L-K esta distribución se multiplica por el área tributaria, y se transforma en fuerzas puntuales en cada nodo, mientras que para el modelo R-M, al incluirse las rotaciones como grado de libertad, interviene tanto la fuerza como el momento resultante.

Cuando se calcula una placa según la teoría de Love-Kirchhoff en las esquinas aparecen las reacciones de Kirchhoff, son fuerzas necesarias para evitar que se levanten las esquinas. En las placas de R-M aparece un efecto similar, con apoyo débil. En L-K se trata de una fuerza vertical y hacia abajo. Mientras que en el modelo de R-M se trata de reacciones verticales hacia abajo en el entorno de la esquina y hacia arriba en el resto del lado.

Elementos de Love-Kirchhoff

La principal dificultad de los elementos de L-K es que exigen continuidad C1 en el contorno, por lo que es necesario que la primera derivada sea continua, esto es difícil de conseguir.

Elementos Rectangulares

• MZC

Las propiedades del elemento MZC son las siguientes:

• Elemento no conforme.
• El elemento rectangular satisface el test de la parcela → la solución aproximada converge a la solución exacta si se disminuye el tamaño de la malla.
• El elemento isoparamétrico distorsionado no satisface el test de la parcela, no permite obtener la solución exacta.
• Solo es útil si la placa se puede discretizar mediante rectángulos. Con elementos isoparamétricos distorsionados no satisface el test, no permite una solución exacta.

• BFS → elemento conforme. La extrapolación a elementos cuadrangulares requiere usar como variables nodales todas las derivadas segundas, esto supone un elemento poco eficiente, debido al tamaño de la matriz de rigidez.

Elementos Triangulares

• CKZ → elemento no conforme, tiene que ser triangular, de esta manera se adapta a cualquier contorno. A mayor subdivisión de la malla, converge a la solución exacta.
• Elemento de 6 nodos de Morley → elemento más sencillo. No garantiza la continuidad de giros, pues no respeta la exigencia de continuidad C1, pese a ello, converge.