Análisis Detallado de la Conducción del Calor: Teoría y Aplicaciones

Conducción del Calor

Introducción

La temperatura es una magnitud física cuya unidad es el grado, pero el valor de esta unidad varía en función de la escala (Celsius, Fahrenheit, Réaumur). Posteriormente, se eligió como escala absoluta el Kelvin.

Principios Fundamentales

1. La temperatura es una magnitud escalar. En cada punto, será función de sus coordenadas de posición y del tiempo. En un espacio tridimensional podemos definir el gradiente de la temperatura: grad Θ = ∂Θ/∂x i + ... Este vector nos da el desnivel térmico en cada punto del campo. El calor ni se crea ni se destruye, se transforma.

2. Si una sustancia intercambia calor, su temperatura varía. Si dos sustancias que reciben calor experimentan diferentes variaciones, es necesario definir características propias para cada sustancia: c_e = C/m = (1/m) * ∂Q/∂Θ

3. La cantidad de calor que atraviesa una superficie en la unidad de tiempo es proporcional al flujo del gradiente de la temperatura. Si una magnitud es proporcional a otra, se establece una igualdad simplemente multiplicando por un coeficiente (conductividad térmica):

   Q̇ = dQ/dt = -∫∫ k grad Θ dS. La conductividad térmica (k) es una característica propia de cada sustancia.

Ecuación Diferencial de la Conducción del Calor

Consideremos un medio homogéneo de densidad ρ, calor específico C_e y conductividad térmica K, que ocupa un volumen τ, limitado por una superficie s:

-Q̇ = dQ/dt = ∫∫ k grad Θ dS (Teorema de la Divergencia) = ∫∫∫ k div(grad Θ) dτ = ∫∫∫ k∇²Θ dτ (Definición de C_e) ∫∫∫ ρC_e ∂Θ/∂t dτ

Igualando:

∫∫∫ k∇²Θ dτ = ∫∫∫ ρC_e ∂Θ/∂t dτ ---> k∇²Θ = ρC_e ∂Θ/∂t

Conducción del Calor a Través de una Pared Plana

Pared Simple

Una pared limitada por dos planos paralelos, tal que el calor se propague perpendicularmente a los planos. La temperatura es constante, por lo que todo el calor debe atravesar la pared y salir. La ecuación de propagación del calor se convierte en: ∂²Θ/∂x² = 0

Integrando: ∂Θ/∂x = B (constante), de donde Θ₁ = Bx₁ + C y Θ₂ = Bx₂ + C

Resolviendo el sistema:

B = -(Θ₁ - Θ₂) / (x₁ - x₂)

C = Θ₁ + ((Θ₁ - Θ₂) / (x₂ - x₁)) * x₁

Sustituyendo en la ecuación de partida:

Θ = Θ₁ - [(Θ₁ - Θ₂) / (x₂ - x₁)] * (x₁ - x)

La temperatura disminuye linealmente de tal forma que el gradiente |grad Θ| = (Θ₁ - Θ₂) / (x₂ - x₁). Llamamos al espesor x₂ - x₁.

Pared Compuesta

Una pared plana formada por materiales de conductividades térmicas y espesores distintos:

Q̇/S = k₁ * ((Θ₁ - Θ₂) / e₁) = k₂ * ((Θ₂ - Θ₃) / e₂) = k₃ * ((Θ₃ - Θ₄) / e₃)

Despejando la diferencia de temperatura:

Θ₁ - Θ₂ = (Q̇/S) * (e₁ / k₁), etc.

Sumando miembro a miembro:

Θ₁ - Θ₄ = (Q̇/S) * [e₁ / k₁ + e₂ / k₂ + e₃ / k₃]

Si k_e = [e₁ / k₁ + e₂ / k₂ + e₃ / k₃]:

Q̇/S = (e / k_e) * ((Θ₁ - Θ₄) / e)

Conducción a Través de un Tubo Cilíndrico

Tubo Cilíndrico Simple

Consideremos una conducción cilíndrica en la que el foco de calor está situado en el eje del cilindro, de tal forma que el calor fluye normalmente a la superficie:

|grad Θ| = ∂Θ/∂r

Para que la temperatura se conserve constante:

-Q̇ = -∂Q/∂t = k * 2πrL * ∂Θ/∂r = B (constante)

Ordenando términos:

r * dΘ/dr = -∂Q / (k * 2πL * ∂t) = B (constante)

Igualando la primera expresión con la última:

dΘ = B * dr/r

Expresión cuya integral inmediata es:

Θ = B * ln(r) + C

Θ = Θ₁ - [(Θ₁ - Θ₂) / ln(r₂/r₁)] / ln(r/r₁)

Esta expresión nos indica que la temperatura decrece logarítmicamente. Si queremos calcular el calor perdido a través del cilindro:

∂Q / (L * ∂t) = 2πk * [(Θ₁ - Θ₂) / ln(r₂/r₁)]

Tubo Cilíndrico Compuesto

Consideremos que se pretende evitar que la conducción anterior pierda excesiva cantidad de calor, recubriéndola de un material de conductividad menor que la propia conductividad:

∂Q / (L * ∂t) = 2πk₁ * [(Θ₁ - Θ₂) / ln(r₂/r₁)] = 2πk₂ * [(Θ₂ - Θ₃) / ln(r₃/r₂)]

Despejando las temperaturas:

Θ₂ - Θ₁ = (∂Q / (L * ∂t)) * (1 / (2πk₁)) * ln(r₂/r₁)

Θ₃ - Θ₂ = (∂Q / (L * ∂t)) * (1 / (2πk₂)) * ln(r₃/r₂)

Sumando los dos miembros y poniéndolo en función de longitud y unidad de tiempo, obtendremos el calor perdido total:

∂Q / (L * ∂t) = (Θ₁ - Θ₃) / [ln(r₂/r₁) / (2πK₁) + ln(r₃/r₂) / (2πK₂)]