Álgebra Lineal: Resumen de Conceptos Clave

Polinomio de Taylor

Sea f(x) ∈ C^∞

Definición: El polinomio de Taylor de f en torno a x₀ de grado n es la serie truncada en el término de grado n, i.e.

Teorema: La serie de Taylor coincide con el polinomio de grado n, salvo un resto, i.e:

Nota: La serie y/o el polinomio de Taylor se pueden calcular en torno a cualquier punto x₀.

Espacios Vectoriales

Definición: V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, si está dotado de una operación interna (+: suma) y una externa (*: producto de un elemento de K por uno de V) tal que:

1. (V, +) es un grupo conmutativo
2. *: K x V → V verifica:
   1. t(v + w) = tv + tw
   2. (t + s)v = tv + sv
   3. t(sv) = (ts)v
   4. 1v = v
   (t, v) → t * v

Definición: Los elementos de V son vectores; los de K, escalares.

Definición: Un subconjunto S de un espacio vectorial V se dice subespacio vectorial, si es no vacío y:

1. Para todo v, w ∈ S, v + w ∈ S
2. Para todo v ∈ S, para todo t ∈ K, t * v ∈ S

Equivalentemente → Para todo v, w ∈ S, para todo t, s ∈ K, tv + sw ∈ S

Nota: Para todo S ⊂ V, 0 ∈ S

Definición: {x₁,...,x_n} se dice familia ligada (análogamente, los vectores son linealmente dependientes).

Definición: {v₁,...v_n} es familia libre (y sus vectores linealmente independientes), si, siempre que t₁v₁ + ... + t_nv_n = 0 → t_i = 0

Consecuencias:

1. {0} es ligada
2. {v / v ≠ 0} es libre
3. Una familia que contenga a 0 es ligada
4. Una familia con un vector repetido es ligada.

Definición: Una base de V es una familia libre y sistema generador de V.

Teorema: Todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo número de elementos.

Definición: Dimensión de un espacio vectorial es el número de vectores de cualquiera de sus bases.

Definición: Dada B_r = {v₁,...,v_n} base de V, un sistema coordenado es una aplicación.

Nota: Las coordenadas dependen de la base.

Definición: Dado un cuerpo K, Kⁿ es espacio vectorial. Éste admite como base a {e₁,..e_n}, donde e_i = (0,..0,1...0). Es la base canónica o natural.

Matrices

Definición: El conjunto de matrices con n filas y m columnas es el espacio vectorial M_{n x m}(K)

Definición: Suma de dos matrices: A + B = C

Definición: Producto de dos matrices C = A * B (es imprescindible que el número de columnas de A coincida con el de filas de B).

Nota: Aun cuando pueda realizarse, el producto no es conmutativo.

Definición: Producto por un escalar C = t * A

Definición: Dada A ∈ M_{n x m}(K), su matriz traspuesta es A^t ∈ M_{n x m}(K) tal que a_ij = a_ji

Definición: Una matriz es cuadrada si n = m

Definición: Una matriz es simétrica si es cuadrada y A = A^t

Otras Definiciones:

Matriz diagonal: si a_i,j = 0 para i distinto de j

Matriz triangular superior: si a_i,j = 0 para todo i > j, es decir, es nula por debajo de la diagonal principal.

Matriz triangular inferior: si a_ij = 0 para todo j > i

Definición: Una matriz A es inversible o regular si existe B tal que A * B = B * A = I_n, B = A^-1 (No toda matriz es inversible). Es inversible si |A| es distinto de 0.

Cálculo de Determinantes

Definición: El menor de una matriz A ∈ M_{n x m}(K) es el determinante de cualquier submatriz cuadrada.

Definición: Dada A ∈ M_n(ℝ), el menor complementario de a_ij es el determinante resultante de suprimir la fila i-ésima y la columna j-ésima de la matriz. Se denota por A_ij.

Sistemas Lineales

Definición: Un sistema lineal es un conjunto de ecuaciones de la forma: con m ecuaciones y n incógnitas x₁,...,x_n. Se puede expresar en forma matricial como: Ax = b

Definición: A es la matriz del sistema.

Definición: (A|b) es la matriz ampliada.

Definición: Rango de una matriz es el máximo número de filas (o columnas), linealmente independientes. rA ≤ min{m,n}

Nota: Dada A cuadrada, A ∈ M_{n x m}(K), su rango es máximo si y sólo si es inversible. rA = n ↔ |A| es distinto de 0.

Teorema de Rouché-Frobenius

Definición: Permite calcular el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales en función del rango de la matriz de coeficientes, del rango de la matriz ampliada y del número de incógnitas que posea el sistema.

Casos:

Dado el sistema Ax = b, pueden suceder tres casos:

1. rA ≠ r(A|b); entonces no hay solución.
2. rA = r(A|b) < n; infinitas soluciones, pues dimN es ≥ 1, y el sistema se dice compatible indeterminado.
3. rA = r(A|b) = n; existe una única solución, ya que dimN = 0, es decir, N sólo consta de un elemento nulo, el sistema se dice compatible determinado.

Nota: Si A ∈ M_{n x m} y rA = n, existe solución de Ax = b, que es A^-1 * b.

Regla de Cramer

Da solución a un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes.

Método de Gauss

Definición: La idea es transformar el sistema original, en otro cuya matriz sea triangular superior.

Importante: Todas las operaciones del método de Gauss se deben realizar sobre la matriz ampliada, si no, las ecuaciones resultantes no serían equivalentes a las originales.

Factorización LU de una Matriz

Definición: Es una factorización que resume el proceso de eliminación de Gauss aplicado a la matriz.