Chuletas y apuntes de Matemáticas de Universidad

i) Toda sucesión de números reales monótona y acotada es convergente.

ii) Toda sucesión de números reales monótona y no acotada es divergente.

Demostración

i) Supongamos que {xn} es una sucesión de números reales creciente y mayorada y sea x = sup {xn : n ∈ N} . Dado ε ∈ R⁺, existe m ∈ N tal que xm > x-ε . Consideremos un natural n tal que n ≥ m. Entonces, x ≥ xn ≥ xm y por tanto |xn - x| = x - xn ≤ x - xm < ε. Se prueba así que {xn} converge a x.

De forma análoga se demuestra que si {xn} es una sucesión de números reales decreciente y minorada entonces {xn} es convergente con lim xn = inf {xn : n ∈ N} .

Esto concluye la demostración del primer apartado pues cualquier sucesión monótona y acotada se encuentra... Continuar leyendo "Convergencia de Sucesiones Reales y Complejas: Teoremas y Demostraciones" »

Tipos de Conocimiento

Conocimiento vulgar: Saber alcanzado por la experiencia.

Conocimiento científico: Aquel saber concebido mediante una metodología y basado en conocimientos preexistentes.

Componentes Clave de la Investigación

Investigación científica: Búsqueda de conocimiento siguiendo procedimientos establecidos.

Unidad de análisis: Son entidades identificables, numerables o computables.

Variables: Características o cualidades en estudio, observables en una unidad de análisis, que integran el contenido del dato científico.

Universo: Determinación de los objetos, fenómenos o hechos incluidos en la investigación, cuyo conocimiento alcanzado debe poder extenderse a otras situaciones o fenómenos en igualdad de condiciones.

Universo o

Pasos para el Procesamiento de Datos

Los siguientes pasos describen el proceso para el procesamiento de datos en una investigación:

1. Obtención de la información de la población o muestra objeto de la investigación.
2. Definición de las variables o los criterios para ordenar los datos obtenidos del trabajo de campo.
3. Definición de las herramientas estadísticas y del programa de cómputo que se utilizará en el procesamiento de datos.
4. Introducción de los datos en el computador y activación del programa para que procese la información.
5. Impresión de los resultados.

Consideraciones Clave en el Análisis de Resultados

1. Cotejar diferentes resultados para asegurar congruencia y, en caso de inconsistencia lógica, revisarlos nuevamente. Asimismo, se debe

Ejercicio

Descuento 20%

367.00x20%=73.40

202.50x20%=40.50-202.5=162.00+7.15=169.15

164.50x20%=32.9-164.50=131.6+18.50=150.1x12%18.01

392.65-73.40+18.01=337.26

9.32-337.26=327.094

Definición de Elasticidad de Coste

La elasticidad de coste (EC) es la variación porcentual que experimenta el coste total cuando la producción varía en un 1%. Se calcula como:

EC = Coste Marginal (CM) / Coste Medio (CMe)

Se clasifica en:

• EC = 1: No existen ni economías ni deseconomías de escala.
• EC > 1: Existen deseconomías de escala.
• EC < 1: Existen economías de escala.

Relación Marginal de Sustitución Técnica (RMST)

La RMST de capital (K) por trabajo (L) es la cantidad en que puede reducirse el capital cuando se utiliza una unidad adicional de trabajo, permaneciendo la producción constante. Se calcula como:

RMST = Variación de la cantidad de K / Variación de la cantidad de L

La RMST está estrechamente relacionada con la producción... Continuar leyendo "Elasticidad de Coste, Producción y Optimización Empresarial: Conceptos Clave" »

Espacio Vectorial: Definición y Propiedades

Un espacio vectorial es un conjunto con una operación interna que cumple las propiedades conmutativa, asociativa, existencia de elemento neutro y existencia de vector simétrico, y con una operación externa que verifica las propiedades de asociatividad, distributividad 1 y 2, y existencia de elemento unidad.

Conceptos Fundamentales

• La dimensión del espacio Rⁿ es n.
• Los elementos de Rⁿ reciben el nombre de vectores.

Operaciones y Compatibilidad

• Inversa de una matriz: A^-1 = 1/|A| · A*
• Combinación lineal: La matriz (A|b) (matriz ampliada) debe tener el mismo rango que A. Ejemplo: Si Rang(A)=2, Rang(A|b)=2, entonces el determinante de orden 3 debe ser nulo.

Sistemas de Ecuaciones

• Sistema Incompatible: No

Errores en Diagramas de Bode

El error en estado estacionario en diagramas de Bode se determina de la siguiente manera:

• Error de posición (Kp): Se obtiene del valor del primer segmento horizontal del diagrama de magnitud. Si este valor es 20log(Kp), entonces Kp es el error de posición. Matemáticamente: lim_(w→0) G(jw)H(jw) = Kp
• Errores de velocidad (Kv) y aceleración (Ka): Se calculan encontrando la intersección de la recta w=1 con el segmento inicial del diagrama de magnitud (que tiene una pendiente de -20 dB/década o -40 dB/década). El valor en esta intersección es 20log(Kv) o 20log(Ka), respectivamente.

Conceptos en el Dominio de la Frecuencia

• Ganancia en Corriente Continua (Gcc): Es el valor de la magnitud de la función de transferencia

Heterocedasticidad en Modelos de Regresión

Cuando se incumple el supuesto de homocedasticidad, la varianza no es constante y varía con la observación (E[u_t²] = δ²_t, ∀t).

El modelo de regresión lineal se define como:

y_nx1 = X_nxk . β_kx1 + u_nx1

tal que E[u_t] = 0_nx1 y Var(u) = δ².Ω_nxn, donde Ω es una matriz diagonal con diagonal no constante. En este caso, se dice que el modelo tiene una matriz de varianza-covarianza no escalar o con perturbaciones no esféricas. Este fenómeno aparece con datos de sección cruzada.

Causas de la Heterocedasticidad

• Naturaleza del fenómeno (se da en datos de sección transversal o cruzada).
• Uso de datos agregados (cuando las observaciones de la variable dependiente pueden dividirse en grupos).
• Omisión de una

Costes Estándares: Cálculo y Desviaciones

1. Definiciones y Fórmulas Clave

• ET Taller (Eficiencia Técnica del Taller): AN_uo / AN_up
  • AN_uo: Actividad Normal en unidades de obra.
  • AN_up: Actividad Normal en unidades de producto.
• EE Taller (Eficiencia Económica del Taller) (CC por u/o): CV por u/o + (Ppto CF / AN_uo)
  • CV por u/o: Coste Variable por unidad de obra.
  • Ppto CF: Presupuesto de Costes Fijos.
• Ficha CE (Coste Estándar):
  ET x EE = CE
  Se aplica a: Materias Primas (MP), Mano de Obra Directa (MOD) y Taller.

2. Cargas Directas e Indirectas

(Esta sección no requiere contenido específico, pero se mantiene como encabezado para estructura)

• Cargas directas
• Cargas indirectas

3. Desviación Técnica y Económica

• DT (Desviación Técnica): (Q_S - Q_R) * P_S
  • Q_S: Cantidad

1) de un naipe ingles de 52 cartas se extrae una al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que resulte 8 o de trébol?

P (A ó B) = P (AUB) = P (A) + P (B) - P (A^B)

=  +  -  =

2) se elige al azar un número entero entre los 30 primeros enteros positivos. ¿Cuál es la probabilidad de que el número sea primo o múltiplo de 5?

P (primo o múltiplo de 5) =  +  -  =  =

3) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar 2 dados, no se obtenga una suma igual a 10?

(5,5)(6,4)(5,5) y 6*6=36 =

P(A°C) = 1- P(A)= 1- =           -  =  =

4) en una empresa trabajan hombres y mujeres, además se sabe que un 15% de los empleados se han perfeccionado en el extranjero. Si el 35% de las personas son mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger... Continuar leyendo "Ejercicios Resueltos de Probabilidad y Estadística" »