Chuleta de teoremas matemáticos
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Tma de Fubinni: Si f(x,y,) es continua en R=[a,b]x[c,d] entonces R f(x,y)dxdy= ab cd f(x,y)dydx= cd ab f(x,y)dxdy
Regiones de integración
Tipo 1: Si x € [a,b] y f(x) ab[ f(x)g(x) F(x,y)dy]dx
Tipo 2: Si x € [c,d] y f(y) cd[ f(y)g(y) F(x,y)dx]dy
Tipo 3: Tipo 1 y 2 a la vez Tipo 1: Si x€[-r,r] y - Paso de coordenadas cartesianas a:
<>Coordenadas cilíndricas o polares:
x=rcos r>0 x=rcos r>0
y=rsin 0< <2 y=rsin 0< <2
z=z z€ 2 variables: Jacobiano:r prd dr
3 variables: Jacobiano:r cr ddrdz
Coordenadas esféricas: Jacobiano: r^2sin
x=rcos sin r>0 Er^2sin drd d
y=rsin cos 0 <2
z=rcos 0< <
Longitud de una curva: L= abc(t)dt
Área que abarca una curva: A= ab f(c(t))c(t)dt= abFdS
Integral de linea: W= cFdS= cF1(x,y,z)dx+F2(x,y,z)dy+F3(x,y,z)dz
Integral de linea de un recinto cerrado: c=c1+c2+c3+c4
cFdS= c1+ c2+ c3+ c4 W=W1+W2+W3+W4
Gradiente de una función:
Divergencia: F= F1/ x+ F2/ y+ F3/ z
Rotacional: xF: =
Laplaciano: ( f)= ^2f/ x^2+ ^2f/ y^2+ ^2f/ z^2
Campo conservativo: 1º f(x,y,z) 2ºrotacional=0 3ºintegral linea cerrada=0 4º cFdS=f(c(b))-f(c(a))
Potencial de un campo conservativo: F1dx=algo1+k1(y,z)
F2/ y=derivdelalgo1+k1/ y, k1= k1/ ydy=algo2+k2(z)
F3/ z=derivdelalgo2+ k2/ z, k2= k2/ zdz=algo3+k3
f=algo1+algo2+algo3+k3
Teorema de Green: FdS= c+Pdx+Qdy= D Q/ x- P/ y
Aplicación: Área= Ddxdy=1/2 c+(-ydx+xdy)=1/2[ c1+ c2+ c3]
Circulación: cFTdS= CFuTdS= cFcdt c=(x´,y´)
uT=c/|c|=(x´,y´)/
Flujo: cFNdS= cFuNdS= cF(y´,-x´)dt c=(y´,-x´)
uN=(y´,-x´)/ =(y´,-x´)/|c|
Teorema de la divergencia en el plano:
Circulación: D( F2/ x- F1/ y)dxdy= D( xF)kdxdy
Flujo: c(F1y´-F2x´)= c -F2dx+F1dy= D( F1/ x+ F2/ y)= D xFdxdy
Hallar los Máximos y Mínimos:
Puntos críticos: d= ^2f/ x^2 ^2f/ y^2-( ^2f/ x y)^2
Si d>0 ^2f/ x^2>0 Mínimo local
Si d>0 ^2f/ x^2<0 Máximo local
Si d<0 Punto de Silla
Puntos de las fronteras: z=f(x,y) x€[a,b] y€[c,d]
f1(y)=f(a,y), f2(x)=f(x,d), f3(y)=(b,y), f4(x)=(x,c)
Valor en las esquinas
Tma de la Función Implícita: establecer condiciones bajo las cuales una ecuación de varias variables define a una de ellas como función de las demás . Se consideran el punto P(a1,a2,...an, b) y la ecuación F(x1,x2,...xn, z )=0, siendo F(x1,x2,...xn, n ) una función de (n+1) variables que satisface las siguientes condiciones: 1) F(P)=0 2) En un entorno del punto P e xisten y son continuas las derivadas parciales F/ x1, F/ x2 F/ xn, F/ z 3) F/ z en P es distinto de cero . Entonces existe en un entorno del punto Q(a1,a2,...an) una única función z=f(x1,x2,...xn) cuyas derivadas parciales respecto de x1,x2,...xn son continuas en un entorno de dicho punto Q y tal que F(x1,x2,xn,...f(x1,x2,...xn)) . Recordatorio: Hacer diagramas de árbol para el cálculo de derivadas variables que a su vez dependen de otras variables.<><>
Regiones de integración
Tipo 1: Si x € [a,b] y f(x) ab[ f(x)g(x) F(x,y)dy]dx
Tipo 2: Si x € [c,d] y f(y) cd[ f(y)g(y) F(x,y)dx]dy
Tipo 3: Tipo 1 y 2 a la vez Tipo 1: Si x€[-r,r] y - Paso de coordenadas cartesianas a:
<>Coordenadas cilíndricas o polares:
x=rcos r>0 x=rcos r>0
y=rsin 0< <2 y=rsin 0< <2
z=z z€ 2 variables: Jacobiano:r prd dr
3 variables: Jacobiano:r cr ddrdz
Coordenadas esféricas: Jacobiano: r^2sin
x=rcos sin r>0 Er^2sin drd d
y=rsin cos 0 <2
z=rcos 0< <
Longitud de una curva: L= abc(t)dt
Área que abarca una curva: A= ab f(c(t))c(t)dt= abFdS
Integral de linea: W= cFdS= cF1(x,y,z)dx+F2(x,y,z)dy+F3(x,y,z)dz
Integral de linea de un recinto cerrado: c=c1+c2+c3+c4
cFdS= c1+ c2+ c3+ c4 W=W1+W2+W3+W4
Gradiente de una función:
Divergencia: F= F1/ x+ F2/ y+ F3/ z
Rotacional: xF: =
Laplaciano: ( f)= ^2f/ x^2+ ^2f/ y^2+ ^2f/ z^2
Campo conservativo: 1º f(x,y,z) 2ºrotacional=0 3ºintegral linea cerrada=0 4º cFdS=f(c(b))-f(c(a))
Potencial de un campo conservativo: F1dx=algo1+k1(y,z)
F2/ y=derivdelalgo1+k1/ y, k1= k1/ ydy=algo2+k2(z)
F3/ z=derivdelalgo2+ k2/ z, k2= k2/ zdz=algo3+k3
f=algo1+algo2+algo3+k3
Teorema de Green: FdS= c+Pdx+Qdy= D Q/ x- P/ y
Aplicación: Área= Ddxdy=1/2 c+(-ydx+xdy)=1/2[ c1+ c2+ c3]
Circulación: cFTdS= CFuTdS= cFcdt c=(x´,y´)
uT=c/|c|=(x´,y´)/
Flujo: cFNdS= cFuNdS= cF(y´,-x´)dt c=(y´,-x´)
uN=(y´,-x´)/ =(y´,-x´)/|c|
Teorema de la divergencia en el plano:
Circulación: D( F2/ x- F1/ y)dxdy= D( xF)kdxdy
Flujo: c(F1y´-F2x´)= c -F2dx+F1dy= D( F1/ x+ F2/ y)= D xFdxdy
Hallar los Máximos y Mínimos:
Puntos críticos: d= ^2f/ x^2 ^2f/ y^2-( ^2f/ x y)^2
Si d>0 ^2f/ x^2>0 Mínimo local
Si d>0 ^2f/ x^2<0 Máximo local
Si d<0 Punto de Silla
Puntos de las fronteras: z=f(x,y) x€[a,b] y€[c,d]
f1(y)=f(a,y), f2(x)=f(x,d), f3(y)=(b,y), f4(x)=(x,c)
Valor en las esquinas
Tma de la Función Implícita: establecer condiciones bajo las cuales una ecuación de varias variables define a una de ellas como función de las demás . Se consideran el punto P(a1,a2,...an, b) y la ecuación F(x1,x2,...xn, z )=0, siendo F(x1,x2,...xn, n ) una función de (n+1) variables que satisface las siguientes condiciones: 1) F(P)=0 2) En un entorno del punto P e xisten y son continuas las derivadas parciales F/ x1, F/ x2 F/ xn, F/ z 3) F/ z en P es distinto de cero . Entonces existe en un entorno del punto Q(a1,a2,...an) una única función z=f(x1,x2,...xn) cuyas derivadas parciales respecto de x1,x2,...xn son continuas en un entorno de dicho punto Q y tal que F(x1,x2,xn,...f(x1,x2,...xn)) . Recordatorio: Hacer diagramas de árbol para el cálculo de derivadas variables que a su vez dependen de otras variables.<><>