Factorizacion de polinomios
Enviado por Programa Chuletas y clasificado en Matemáticas
Escrito el en 
español con un tamaño de 62,18 KB
Tema: Factorización de Polinomios
Factorización es el proceso de expresar un polinomio como una multiplicación de factores.
Existen varios Métodos de Factorización donde cada uno de ellos se aplica a determinados casos con sus respectivas particularidades.
Métodos de Factorización:
- Factor Común Mayor
- Diferencia de Cuadrados
- Trinomios Cuadráticos de la forma x2 + bx + c
- Trinomios Cuadráticos de la forma ax2 + bx + c
- Sumas o Diferencias de Cubos
- Factorización por Agrupación
A. Factor Común Mayor
Definiciones Importantes:
Factores Numéricos
Los Factores de un Número a, son todos aquellos números que multiplicados entre sí, den como resultado a a.
Ejemplos: Encuentre los factores de 24
1 x 24 = 24
2 x 12 = 24
3 x 8 = 24
4 x 6 = 24
Factores de un Término:
Un factor es cada número o variable de un término.
Ejemplo:
En el término -4x4y9z2 los factores son: -4, x4, y9, z2.
Hay dos tipos de factores en un término:
1) Al factor numérico (el que consta de un número) de un término se le llama Coeficiente Numérico o Coeficiente.
2) Los Factores Literales son todas la variables. (x4, y9, z2)
Ejemplo:
El coeficiente de -4x4y9z2 es -4.
Factor Común Mayor
El factor común de los términos que contengan variables en un polinomio incluye:
- El factor común mayor de los coeficientes numéricos; y
- Las variables que tengan en común elevadas al exponente más pequeño con que aparecen.
Ejemplos: Factorice
- y + 7 = No factoriza porque NO tiene factores numéricos en común y no se repite ninguna variable en todos sus términos.
- 5x – 10 = factor común numérico es 5 y no se repiten variables. Entonces factoriza
= 5(x – 2)
- p5 + 7p3 – 9p2 = factor común es p2; por lo tanto factoriza
= p2(p3 + 7p – 9)
- 12x5 – 18x8 + 24x10 = factor común de 12, 18 y 24 es 6; mientras que podemos observar que se repite la variable x, por lo que escogemos la del exponente mas pequeño, x5. Por lo que el factor común es 6x5
= 6x5(2 – 3x3 + 4x5)
- 36x7y3 – 27x6y5 + 81x4y8 = factor común de 36, 27 y 81 es 9; mientras que podemos observar que se repite las variable x, así como la y, por lo que escogemos las que tienen el exponente mas pequeño, x4, y3. Por lo que el factor común es 9x4y3
= 9x4y3(4x3 – 3x2y2 + 9y5)
- (x + 3)3 + (x + 3)2 = Aquí podemos observar que el binomio (x + 3) es común en ambos términos por lo que lo tomamos con el exponente mas pequeño (x + 3)2. Importante NO expandir el polinomio y como el factor común es un paréntesis utilizamos corchetes []
= (x + 3)2[(x + 3)1 + 1]
- 35(p – 6)8 – 50(p – 6)12 = Aquí podemos observar que 35 y 50 tienen factor común que es 5; mientras que el binomio (p – 6) también es común en los dos términos por lo que escogemos el de exponente menor. Por lo tanto el factor común es 5(p – 6)8.
= 5(p – 6)8 [7 – 10(p – 6)4]
- 48a7b2(w + z)6 – 36 a6b5(w + z)4 = Aquí hay tres factores comunes; el factor común de 48 y 36 es 12, además se repiten las variables a, b por lo que escogemos la del exponente mas pequeño a6 y b2; y por último se repite también el binomio (x + z) por lo que escogemos el exponente mas pequeño (w + z)4.
= 12a6b2(w + z)4[4a(w + z)2 – 3b3]
Práctica: Factorice si es posible.
- 6x + 3y =
- 12x + 8y =
- 6x2 – 14x =
- 15x2 – 6x =
- 28y2 + 4y =
- 42y2 + 6y =
- 20xy – 15x =
- 12x3 + 10x2 =
- 18 a4b7 – 27 a3b8 =
- 42 y6z5 + 21 y11z9 =
- 6z + 9z2 – 15z3 =
- 63 w15 – 36 w9 + 81w5 =
- 18x5y9z2 – 27x3y7z4 + 45x2y6z8 =
- 36 p2q8z9 + 18 p4q7z3 – 24 p13q10z4 =
- 5(a – 6)3 – (a – 6)=
- w3(w + 3)5 + w7(w + 3)6 =
- t(t + 1)7 + 4(t + 1)12 =
- 80m3(t – 4)8 + 18m5 (t – 4)6 =
- 3(x – z) – z(z – x) =
- p(c – 7) + 5(7 – c) =
B. Diferencia de Cuadrados
A este tipo de factorización se le da ese nombre por sus características:
- Es una Diferencia o Resta.
- Sus términos son el cuadrado de una expresión.
En otras palabras una Diferencia de Cuadrados es una resta de dos términos que tienen raíz cuadrada perfecta.
Repasemos como hallar el cuadrado de una expresión;
- (4)2 = (4)(4) = 16
- (-9)2 = (-9)(-9) = 81
- (r)2 = (r) (r) = r2
- (t4)2 = (t4) (t4) = t8
- (-7p8)2 = (-7p8) (-7p8) = 49p16
Definición:
Dos binomios que difieren en el signo de uno de sus términos se llaman Binomios Conjugados.
Ejemplos: Halle el Conjugado de los siguientes Binomios.
- (w – 4) = (w + 4)
- (x + 5) = (x – 5)
- (2p + z) = (2p – z)
Nota Importante:
Cuando se multiplica dos binomios conjugados se obtiene una Diferencia de Cuadrados, por lo tanto cuando se factoriza una Diferencia de Cuadrados se obtiene un producto de Binomios Conjugados.
Ejemplos: Factorice las siguientes Diferencia de Cuadrados.
- p2 – 4 = Como ambos términos tienen raíz cuadrada y es una diferencia, entonces es una diferencia de cuadrados.
= (p + 2)(p – 2)
- 16 – m2 = (4 – m)(4 + m) Podemos observar que el orden de los binomios NO es importante.
- 25t2 – 64q2 = (5t + 8q)(5t – 8q)
- 144x6 – 1 = (12x3 + 1) (12x3 – 1)
- y4 – 1 = (y2 + 1)(y2 – 1) Aquí podemos observar que uno de los binomios conjugados (y2 – 1) es otra diferencia de cuadrados. Para que el polinomios este factorizado completamente debemos factorizar otra vez el proceso. La factorización final debe tener todos los factores.
= (y2 + 1)(y – 1)(y + 1)
Práctica: Factorice.
- T2 – 1 =
- w2 – 100 =
- a8 – 64 =
- q2 – 49 =
- 4b6 – 9 =
- 1 + f2=
- 4t2 – y2 =
- d2 – 36g2 =
- 81 – h10 =
- 9 – 25c2 =
- K4 – 64j2 =
- p2 + q2 =
- 144 – m14 =
- 49n2 – 121 =
- b2 – 4c2 =
- 25g8 – 144h20 =
- 36 – 121a16 =
- 49 + y4 =
- y2 – z4 =
- 64d2 – 9k14 =
- 169 – b10 =
- 100 + 36p2 =
- (3 + u)6 – (t + 4)10 =
- (w – 4)2 – (t + 9)2 =
- (d – 8)8 – (c – 6)10 =
C. Factorización de Trinomios Cuadráticos de la Forma x2 + bx + c.
Recordemos que el proceso de factorizar es el proceso inverso de la multiplicación, por lo tanto para factorizar trinomios cuadráticos debemos encontrar dos binomios que multiplicados den a x2 + bx + c. Veamos el siguiente ejemplo:
(x + 3)(x + 5) = x2 +5x + 3x + 15 = x2 + 8x + 15
Por lo tanto si queremos factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c realizamos el siguiente procedimiento:
Paso #1: Buscar TODOS factores de c.
Paso #2: Observar el signo de c.
- Si el signo de c es positivo escogemos los factores de c que sumados den a b. Los signos de los factores deben ser los mismos de b.
- Si el signo de c es negativo escogemos los factores de c que restados den a b. Entonces los signos de los factores tienen que ser diferentes, donde el mayor de ellos llevara el signo de b. El otro factor llevara el signo opuesto.
Ejemplo 1: Factorice x2 + 7x + 12
Primero buscamos todos los factores de 12.
12
1 x 12
2 x 6
3 x 4
Como el signo de 12 es + (positivo) escogeremos los factores que sumados den a 7. Por lo tanto los factores son 3 y 4. Dado que el signo de b es + (positivo), entonces los signos serán de suma.
x2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)
Ejemplo 2: Factorice.
x2 – 9x + 18 = Para resolver este trinomio nuevamente buscamos todos los factores de 18
18
1 x 18
2 x 9
3 x 6
Como el signo de 18 es + (positivo) escogemos los factores de 18 que sumados den a 9 (3 y 6)
Como b es -9 los factores tienen que ser negativos.
x2 – 9x + 18 = (x – 3)(x – 6)
Ejemplo 3: Factorice.
y2 + 6y – 27 = En este ejemplo podemos observar que el signo de 27 es negativo, por lo tanto buscaremos los factores de 27 que restados den a 3. Los factores de 27 son:
27
1 x 27
3 x 9
Por lo tanto los factores de 27 que restados den a 3 son 3 y 9. Como b es +3 entonces el 9 es positivo y el 3 es negativo.
y2 + 6y – 27 = (y + 9)(y – 3)
Ejemplo 4: Factorice.
z2 – 4z – 45 = Tenemos que buscar los factores de 45 que restados den como resultado a 4. Los factores de 45 son
45
1 x 45
3 x 15
5 x 9
Los factores que restados den a 4 son 9 y 5, por lo tanto este trinomio factoriza
(z – 9)(z + 5) recordando que el factor mayor es negativo dado que b es -4.
La factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c se puede resumir de la siguiente manera:
Encuentre dos enteros cuyo producto sea c y cuya suma sea b.
- Si b y c son positivos, ambos enteros deben ser positivos.
- Si c es positivo y b es negativo, ambos enteros deben ser negativos.
- Si c es negativo, los enteros deben tener signos diferentes. (El entero mayor debe tener el signo de b.)
- Práctica: Factorice.
- w2 – w – 2 =
- c2 – 10c + 25 =
- t2 + 8t + 12 =
- x2 – 4x – 12 =
- y2 + 8y – 9 =
- d2 + 10d + 24
- x2 + 12x + 20 =
- a2 – a – 30 =
- y2 + y – 72 =
- y2 + 12y + 36 =
- w2 – w – 12=
- d2 + 9d - 10 =
- r2 - 15r + 54 =
- f2 + 7f + 12 =
- y2 + 12y – 45 =
- x2 + 9x + 20 =
- w2 – 11 w + 28 =
- q2 + 5q – 14 =
- s2 – 8s + 12 =
- z2 – 3z – 54 =
- a2 + 8a – 24 =
- a2 – 14xy – 63y2 =
- a2 –ab – 56b2 =
- y2 +21 y + 98 =
- x2 + 9x + 12 =
- 6 + 5x – x2 =
- c2 – 9c – 10 =
- d2 + 3d – 54 =
- x4 – 5x2 – 36 =
- t4 + 6t2 + 9 =
- Trinomios Cuadráticos de la forma ax2 + bx + c.
Para factorizar un trinomio de la forma ax2 + bx + c utilizamos los mismos criterios de la factorización de x2 + bx + c:
Procedimiento para factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c:
El producto debe ser a.
ax2 + bx + c = (___ x + ___)(___x + ___)
 |
El producto debe ser c.
- El producto de los números en los primeros espacios en blanco debe ser a.
- Los coeficientes de los productos exteriores y los productos interiores deben “sumarse” y dar a b. Para saber si se suma o restan debemos observar el signo de c.
- El producto de los números en los últimos espacios en blanco deben ser c.
Ejemplo 1: Factorice.
5x2 + 11x + 2 = Los factores de 5 son Los factores de 2 son
1 x 5 1 x 2
Como esos son los únicos factores, tenemos que acomodarlos de manera tal que al multiplicar los términos internos y externos den como resultado a b.
(5x + 2)(x + 1)
De esta manera obtenemos:
Términos internos = 2x
Términos externos = 5x, Como estos factores deben sumarse obtenemos que (5x + 2x) = 7x y este no puede ser porque queremos acomodarlo para que el resultado sea 11x. Intercambiando los factores, tenemos que
(5x + 1)(x + 2)
De esta manera obtenemos:
Términos internos = x
Términos externos = 10x, Como estos factores deben sumarse obtenemos que (x + 10x) = 11x que es la combinación que estábamos buscando por lo que la factorización de
5x2 + 11x + 2 = (5x + 1)(x + 2)
Práctica: Factorice los siguientes trinomios de la forma ax2 + bx + c:
- 2x2 + 3x + 1 =
- 2x2 + 7x + 6 =
- 4y2 + 13y + 3 =
- 9p2 – 6p +8 =
- 28z2 + 21z – 7 =
- 9x2 + 9x – 4 =
- 10c2 – 45c + 20 =
- 12d2 – 25df + 12f2 =
- 4p2 + 11p + 6 =
- 3w2 + 17w + 10 =
- 12x2 – 5x – 2 =
- 8x2 – 10x – 3 =
- 3x2 +7x – 6 =
- 2x2 – 9x + 9 =
- 2x2 – 5x + 2 =
- 28p2 + 21p – 7 =
- 6w2 + 27w – 15 =
- 15d2 + 23d + 6 =
- 12y2 – y – 6 =
- 8a2 – 6a – 27 =
- 12n2 – 43n – 20 =
- 3z2 + 10z + 4 =
- 20q2 – 64q - 21 =
- 16x2 + 62x – 45 =
- 9m2 + 30m + 16 =
- 20v2 – 11v – 3 =
- 12c2 + 4c – 5 =
- 20y2 – 47y + 21 =
- 18n4 + 25 n2 – 3 =
- 9d2 – 42d + 49 =
- Factorización de Sumas o Diferencias de Cubos
Este tipo de factorización se utiliza cuando hay una Suma o Resta de dos términos que tienen raíz cúbica perfecta. Una Suma o Diferencia de Cubo factoriza mediante una multiplicación de un binomio por un trinomio.
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
Nota Importante:
- Para determinar la raíz cúbica del Factor Numérico (de un número) busco el número que multiplicado 3 veces me de como resultado al número buscado.
- Para determinar si el factor Literal (Variables con sus exponentes) se divide el exponente entre 3, Si es una división exacta entonces el tiene raíz cúbica.
Ejemplos:
Pasos para factorizar Sumas o Diferencias de Cubos:
Paso #1: Para hallar el primer término del Binomio buscamos la raíz cúbica del primer término del polinomio.
a3 + b3 = 
(a ___)(___ ___ ___)
Paso #2: Para hallar el segundo término del Binomio buscamos la raíz cúbica del segundo término del polinomio.
a3 + b3 = 
(a + b)(___ ___ ___)
Paso #3: Para hallar el primer término del Trinomio elevamos al cuadrado el primer término del Binomio.
(a + b) (a)2 = a2 (a + b)( a2 ___ ___)
Paso #4: Para hallar el segundo término del trinomio multiplicamos el primer término del binomio por el segundo término del binomio y le cambiamos el signo (si es positivo lo ponemos negativo o viceversa)
a · b = ab
Como tenemos que cambiarle el signo entonces el término es – ab.
(a + b)( a2 – ab ___)
Paso #5: Para hallar el tercer término del trinomio elevamos al cuadrado el segundo término del binomio.
(b)2 = b2 (a + b)( a2 – ab + b2)
Entonces la factorización de
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
Raíces Cúbicas Perfectas: Cubos
13 = 1
23 = 8
33 = 27
43 = 64
53 = 125
63 = 216
73 = 343
83 = 512
93 = 729
103 = 1000
Entre Otras.
Ejemplos: Factorice.
- x3 + 8 = (x + 2)(x2 – 2x + 4)
- 27 – y6 = (3 – y2)(9 + 3y2 + y4)
- 8p9 + 64 = (2p3 + 4) (4p6 – 8p3 + 16)
Práctica: Resuelva las siguientes Sumas o Restas de Cubos.
- 1 + x3
- x3 + 1000
- 27a3 + 125b3
- 64x3y6 + 216z9
- 512x6 + 729y3
- 1/8 + 125x3
- 1/27 + x6/216
- a6/343+8b12/1000
- 1000 – m3
- 343a3 – 64b3
- 125x9y18 – 512z27
- (x + 4)3 – 8
- 125 – (3a2 + 1)3
- 1000x6y3 + 125z12w15
- (3a + 2b)3 – (2a + 2b)3
|
|
- Factorización Por Agrupación.
Este método de factorización se aplica cuando no se puede aplicar ningún otro método: Factor Común, Trinomios, Diferencia de Cuadrados ni Sumas o Diferencia de Cubos. Una característica de los polinomios que factorizan mediante este método es que tienen cuatro términos. El procedimiento es el siguiente:
Paso #1: Agrupe los términos con factores comunes usando la Propiedad Asociativa. Esta Propiedad establece que
a + (b + c) = (a + b) + c.
Es importante agrupar los términos SIEMPRE con el signo de suma dado que es propia de esta operación matemática.
Paso #2: Factorice cada binomio resultante. El método a utilizarse es generalmente el de factor común, aunque también podría utilizarse otros métodos de factorización.
Paso #3: Factorice nuevamente utilizando el Factor Común Mayor. Para poder factorizar en este paso los términos que quedan dentro del paréntesis tienen que ser idénticos.
Ejemplo 1: Factorice x3 + 2x2 + 3x + 6
(x3 + 2x2) + (3x + 6) Agrupamos
x2(x + 2) + 3(x + 2) Factorizamos (FCM)
(x + 2)(x2 + 3) Factorizamos nuevamente
Ejemplo 2: Factorice 3x3 + 6x2 + 2x + 4
(3x3 + 6x2) + (2x + 4) Agrupamos
3x2(x + 2) + 2(x + 2) Factorizamos (FCM)
(x + 2)(3x2 + 2) Factorizamos nuevamente
Ejemplo 3: Factorice 4p4 – 12p2 – 3p2 + 9
(4p4 – 12p2) + (-3p2 + 9) Agrupamos Siempre con Suma
4p2(p2 – 3) + 3(-p2 + 3) Factorizamos (FCM). Aquí observamos que los paréntesis NO son iguales pero son el opuesto uno del otro.
4p2(p2 – 3) + 3(-1)(-p2 + 3) Multiplicando por -1 podemos a cualquiera de los lados podemos manipular los términos para que sean iguales.
4p2(p2 – 3) – 3(p2 – 3) Ahora los binomios en los paréntesis son iguales
(4p2 – 3)(p2 – 3) Factorizamos nuevamente.
Práctica:
- x3 + 7x2 y – 3y2x – 21 y3 =
- 8y2 – 44yz – 10 yz – 55z2 =
- 2g4 – 5h4g3 – 2gh + 5h5 =
- 12p3 + 42 q5 – 18pq2 – 28p2 q3 =
- 12a4 – 12m8 + 18 a3m3 -8 a m5 =
- 3m2 n – 6m3 – 4n2 +2mn =
- 42m3 + 14 mp + 24 m2p3 + 8p4 =
- 36a5 + 27 a4b – 20ab2 – 15b3 =
- 24x4 – 21x3y3 + 16xy – 14y4 =
- -45c5 + 40c2d + 54c3d7 – 48d8 =